order2 0.4.0

An educational module about second-order systems

module order2

Outils pédagogiques pour l'étude des systèmes du 2ème ordre

Installation du module python order2

From Pypi repository :
https://pypi.org/project/order2

pip install order2

Réponse indicielle en régime transitoire

On s'intéresse aux systèmes du 2ème ordre régis par l'équation différentielle suivante :

(1/ω0²).d²y(t)/dt² + (2m/ω0).dy(t)/dt + y(t) = A.u(t)

avec :

• t : temps en s
• A : amplification statique (sans unité)
• m : coefficient d'amortissement (sans unité, m >= 0)
• ω0 : pulsation propre (en rad/s)
• u(t) : échelon unité (Heaviside)
  • u(t) = 0 pour t < 0
  • u(t) = 1 pour t >= 0

Conditions initiales (système au repos) :

• y(t=0) = 0
• dy(t=0)/dt = 0

Exemple :

>>> import order2
>>> syst = order2.Ordre2(A=2, coeff_amortissement=0.05, w0=1000)
>>> syst.courbe_reponse_indicielle()
>>> syst.show()

>>> syst = order2.Ordre2(A=1, coeff_amortissement=2.5, w0=1000)
>>> syst.courbe_reponse_indicielle()
>>> syst.show()

Etude en régime harmonique (sinusoïdal)

La fonction de transfert (transmittance complexe) s'écrit alors :

                A
H(jω) = ----------------------
         1 + 2mjω/ω0 -(ω/ω0)²

avec :

• ω : pulsation en rad/s
• A : amplification statique (sans unité)
• m : coefficient d'amortissement (sans unité, m >= 0)
• ω0 : pulsation propre (en rad/s)

Exemple :

>>> import order2
>>> syst = order2.Ordre2(A=2, coeff_amortissement=0.05, w0=1000)
>>> syst.bode()
>>> syst.show()

Cas particulier : circuit électrique RLC série

                        L
            ---[ R ]---^^^^-----
          ^                     |    ^
tension   |                    ---   |  tension
d'entrée  |                  C ---   |  de sortie
Vin       |                     |    |  Vout
            --------------------

• R résistance en Ω
• L inductance en henry
• C capacité en farad

Exemple :

>>> import order2
>>> syst = order2.RLC(R=100, L=0.01, C=100e-9)
>>> print(syst.pulsation_propre)
31622.7766016
>>> print(syst.amortissement)
0.158113883008
>>> syst.courbe_reponse_indicielle()
>>> syst.bode()
>>> syst.show()

Autre cas particulier : masse suspendue à un ressort

• M : masse en kg
• K : constante de raideur du ressort (en N/m)
• f : coefficient de frottement (en N.s/m)

Exemple :

>>> import order2
>>> syst = order2.MKF(M=2, K=100, f=13)
>>> print(syst.pulsation_propre)
7.07106781186
>>> print(syst.amortissement)
0.45961940777
>>> syst.courbe_reponse_indicielle()
>>> syst.bode()
>>> syst.show()

Autres fonctionnalités

Réponse indicielle

• détermination du type de régime
• temps de réponse
• pseudo-période
• fréquence propre
• dépassements en %

Exemple :

>>> import order2
>>> syst = order2.Ordre2(A=10, coeff_amortissement=0.5, w0=600)
>>> print(syst.regime())
pseudo-périodique
>>> print(syst.temps_de_reponse(5))  # à 5 %
0.0088151553719
>>> print(syst.temps_de_reponse(1))  # à 1 %
0.0146342745411
>>> print(syst.frequence_propre())
95.49296585
>>> print(syst.depassement(1))  # 1er dépassement en %
16.3033534821

Réponse harmonique

• fréquence propre
• fréquence de résonance
• facteur de résonance
• fréquence de coupure à -3 dB

Exemple :

>>> import order2
>>> syst = order2.Ordre2(A=10, coeff_amortissement=0.5, w0=600)
>>> print(syst.frequence_propre())
95.49296585
>>> print(syst.frequence_resonance_harmonique())
67.523723711
>>> print("{} ou {} dB".format(*syst.facteur_resonance_harmonique()))
1.15470053837 ou 1.24938736608 dB
>>> print(syst.frequence_coupure_harmonique())
121.468928958

• fonction de transfert complexe (transmittance)

Exemple :

>>> syst = order2.Ordre2(A=2, coeff_amortissement=0.05, w0=1000)
>>> H = syst.fonction_transfert
>>> # help(H)
>>> H.properties(150)  # transmittance à 150 Hz
Frequency (Hz) : 150
Angular frequency (rad/s) : 942.478
Complex value : 10.4585-8.82161j
Magnitude : 13.6821
Magnitude (dB) : 22.72306
Phase (degrees) : -40.1473
Phase (radians) : -0.700702
>>> print(H.db(150))  # gain en dB à 150 Hz
22.723064994
>>> print(H.phase_deg(150))  # déphasage en degrés à 150 Hz
-40.147271165

Abaques

Réponse indicielle

• coefficient d'amortissement en fonction du premier dépassement en %

>>> import order2
>>> print(order2.Ordre2.abaque_coeff_amortissement(depassement=60))
0.160493046664

• n-ième dépassement en % en fonction du coefficient d'amortissement

>>> print(order2.Ordre2.abaque_depassement(coeff_amortissement=0.16))
60.0967132139
>>> print(order2.Ordre2.abaque_depassement(coeff_amortissement=0.16, n=2)) 
36.1161493911

• temps de réponse en fonction de m et de ω0

>>> print(order2.Ordre2.abaque_temps_de_reponse(coeff_amortissement=0.16, w0=10000,
                                                pourcentage=5))
0.0016837960245

• pseudo-période en fonction de m et de ω0

>>> print(order2.Ordre2.abaque_pseudo_periode(coeff_amortissement=0.16, w0=10000))
0.00063651879320

• ω0 en fonction de m et de la pseudo-période

>>> print(order2.Ordre2.abaque_pulsation_propre(coeff_amortissement=0.16,
                                                pseudo_periode=0.0006365))
10000.295258

Réponse harmonique

• coefficient d'amortissement en fonction du facteur de résonance en dB

>>> import order2
>>> print(order2.Ordre2.abaque_coeff_amortissement_harmonique(facteur_resonance_db=20))
0.0500627750598

• facteur de résonance (sans unité et en dB) en fonction du coefficient d'amortissement

>>> result = order2.Ordre2.abaque_facteur_resonance_harmonique(coeff_amortissement=0.05)
>>> print("{} ou {} dB".format(*result))
10.0125234864 ou 20.010870956 dB

• fréquence de coupure à -3 dB en fonction de m et ω0

>>> print(order2.Ordre2.abaque_frequence_coupure_harmonique(coeff_amortissement=0.16,
                                                            w0=10000))
2427.97905105

• fréquence de résonance en fonction de m et ω0

>>> print(order2.Ordre2.abaque_frequence_resonance_harmonique(coeff_amortissement=0.16,
                                                              w0=10000))
1550.27045

• ω0 en fonction de m et de la fréquence de résonance

>>> print(order2.Ordre2.abaque_pulsation_propre_resonance_harmonique(
        coeff_amortissement=0.16, frequence_resonance=1550.27))
9999.9970809

Pôles de la fonction de transfert

                A                     A.ω0²
H(s) = ---------------------- = ----------------------
         1 + 2ms/ω0 +(s/ω0)²    (s - pole1)(s - pole2)

avec : s = jω (opérateur de Laplace)

• calcul des pôles à partir de m et ω0

>>> print(order2.Ordre2.abaque_poles(coeff_amortissement=0.6, w0=1000))
((-600+800j), (-600-800j))

• calcul de m et ω0 à partir des pôles

>>> print(order2.Ordre2.abaque_m_w0_depuis_poles(-600+800j, -600-800j))
(0.6, 1000.0)

Exemples : mise en cascade de deux systèmes du 1er ordre

L'ensemble donne un système du 2ème ordre :

            1         1                1
H(s) = ----------.---------- = ---------------------
        1 + s/ω1   1 + s/ω2     1 + 2ms/ω0 +(s/ω0)² 

>>> w1, w2 = 1000, 100000
>>> m, w0 = order2.Ordre2.abaque_m_w0_depuis_poles(-w1, -w2)
>>> print(m ,w0)
5.05 10000.0
>>> syst = order2.Ordre2(A=1, coeff_amortissement=m, w0=w0)
>>> syst.bode()
>>> syst.show()

Si le coefficient d'amortissement est supérieur à 1, on peut décomposer un système du 2ème ordre en deux systèmes du 1er ordre :

>>> syst = order2.Ordre2(A=1, coeff_amortissement=2.5, w0=1000) 
>>> pole1, pole2 = syst.poles
>>> w1, w2 = -pole1, -pole2
>>> print(w1, w2)                                                          
208.71215252208003 4791.28784747792
>>> tau1, tau2 = 1/w1, 1/w2                                                
>>> print(tau1, tau2)  # constantes de temps
0.004791287847477919 0.00020871215252208

Aide complète

>>> import order2
>>> help(order2)

Bonus

Vous trouverez ici les scripts permettant de tracer les courbes suivantes :

• Abaque : premier dépassement en fonction du coefficient d'amortissement

• Abaque : temps de réponse réduit en fonction du coefficient d'amortissement

• Abaque : facteur de résonance en fonction du coefficient d'amortissement

Documentation complète

https://framagit.org/fsincere/order2

TO DO

English translation...

A voir

https://pypi.org/project/ac-electricity