optimtool 2.4.1

The fundamental package for scientific research in optimization.

optimtool

The fundamental package for scientific research in optimization.^[?]

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项目介绍

  optimtool采用了北京大学出版的《最优化：建模、算法与理论》这本书中的部分理论方法框架，运用了 Numpy 包高效处理数组间运算等的特性，巧妙地应用了 Sympy 内部支持的 .jacobian 等方法，并结合 Python 内置函数 dict 与 zip 实现了 Sympy 矩阵到 Numpy 矩阵的转换，最终设计了一个用于最优化科学研究领域的Python工具包。 研究人员可以通过简单的 pip 指令进行下载与使用。

项目结构

|- optimtool
    |-- constrain
        |-- __init__.py
        |-- equal.py
        |-- mixequal.py
        |-- unequal.py
    |-- example
        |-- __init__.py
        |-- Lasso.py
        |-- WanYuan.py
    |-- hybrid
        |-- __init__.py
        |-- approximate_point_gradient.py
    |-- unconstrain
        |-- __init__.py
        |-- gradient_descent.py
        |-- newton.py
        |-- newton_quasi.py
        |-- nonlinear_least_square.py
        |-- trust_region.py  
    |-- __init__.py
    |-- _convert.py
    |-- _drive.py
    |-- _kernel.py
    |-- _search.py
    |-- _typing.py
    |-- _utils.py
    |-- _version.py

  因为在求解不同的目标函数的全局或局部收敛点时，不同的求取收敛点的方法会有不同的收敛效率以及不同的适用范围，而且在研究过程中不同领域的研究方法被不断地提出、修改、完善、扩充，所以这些方法成了现在人们口中的最优化方法。 此项目中的所有内部支持的算法，都是在范数、导数、凸集、凸函数、共轭函数、次梯度和最优化理论等基础方法论的基础上进行设计与完善的。

  optimtool内置了诸如Barzilar Borwein非单调梯度下降法、修正牛顿法、有限内存BFGS方法、截断共轭梯度法-信赖域方法、高斯-牛顿法等无约束优化领域收敛效率与性质较好的算法，以及用于解决约束优化问题的二次罚函数法、增广拉格朗日法等算法。

开始使用

无约束优化算法（unconstrain）

import optimtool.unconstrain as ou
ou.[方法名].[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

梯度下降法（gradient_descent）

ou.gradient_descent.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
solve(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	通过解方程的方式来求解精确步长
steepest(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	使用线搜索方法求解非精确步长（默认使用wolfe线搜索）
barzilar_borwein(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="Grippo", c1: float=0.6, beta: float=0.6, alpha: float=1, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	使用Grippo与ZhangHanger提出的非单调线搜索方法更新步长

牛顿法（newton)

ou.newton.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
classic(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	通过直接对目标函数二阶导矩阵（海瑟矩阵）进行求逆来获取下一步的步长
modified(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", m: int=20, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	修正当前海瑟矩阵保证其正定性（目前只接入了一种修正方法）
CG(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", epsilon: float=1e-6, k: int=0) -> OutputType	采用牛顿-共轭梯度法求解梯度（非精确牛顿法的一种）

拟牛顿法（newton_quasi）

ou.newton_quasi.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
bfgs(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", m: float=20, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	BFGS方法更新海瑟矩阵
dfp(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", m: float=20, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	DFP方法更新海瑟矩阵
L_BFGS(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", m: float=6, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	双循环方法更新BFGS海瑟矩阵

非线性最小二乘法（nonlinear_least_square）

ou.nonlinear_least_square.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
gauss_newton(funcr: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	高斯-牛顿提出的方法框架，包括OR分解等操作
levenberg_marquardt(funcr: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, m: float=100, lamk: float=1, eta: float=0.2, p1: float=0.4, p2: float=0.9, gamma1: float=0.7, gamma2: float=1.3, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	Levenberg Marquardt提出的方法框架

信赖域方法（trust_region）

ou.trust_region.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
steihaug_CG(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, m: float=100, r0: float=1, rmax: float=2, eta: float=0.2, p1: float=0.4, p2: float=0.6, gamma1: float=0.5, gamma2: float=1.5, epsilon: float=1e-6, k: int=0) -> OutputType	截断共轭梯度法在此方法中被用于搜索步长

约束优化算法（constrain）

import optimtool.constrain as oc
oc.[方法名].[函数名]([目标函数], [参数表], [等式约束表], [不等式约数表], [初始迭代点])

等式约束（equal）

oc.equal.[函数名]([目标函数], [参数表], [等式约束表], [初始迭代点])

方法头	解释
penalty_quadratice(funcs: FuncArray, args: FuncArray, cons: FuncArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="gradient_descent", sigma: float=10, p: float=2, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	增加二次罚项
lagrange_augmentede(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons: FuncArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="gradient_descent", lamk: float=6, sigma: float=10, p: float=2, etak: float=1e-4, epsilon: float=1e-6, k: int=0) -> OutputType	增广拉格朗日乘子法

不等式约束（unequal）

oc.unequal.[函数名]([目标函数], [参数表], [不等式约束表], [初始迭代点])

方法头	解释
penalty_quadraticu(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons: FuncArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="gradient_descent", sigma: float=10, p: float=0.4, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	增加二次罚项
penalty_interior_fraction(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons: FuncArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="gradient_descent", sigma: float=12, p: float=0.6, epsilon: float=1e-6, k: int=0) -> OutputType	增加分式函数罚项
lagrange_augmentedu(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons: FuncArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="gradient_descent", muk: float=10, sigma: float=8, alpha: float=0.2, beta: float=0.7, p: float=2, eta: float=1e-1, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	增广拉格朗日乘子法

混合等式约束（mixequal）

oc.mixequal.[函数名]([目标函数], [参数表], [等式约束表], [不等式约束表], [初始迭代点])

方法头	解释
penalty_quadraticm(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons_equal: FuncArray, cons_unequal: FuncArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="gradient_descent", sigma: float=10, p: float=0.6, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	增加二次罚项
penalty_L1(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons_equal: FuncArray, cons_unequal: FuncArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="gradient_descent", sigma: float=1, p: float=0.6, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	L1精确罚函数法
lagrange_augmentedm(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons_equal: FuncArray, cons_unequal: FuncArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="gradient_descent", lamk: float=6, muk: float=10, sigma: float=8, alpha: float=0.5, beta: float=0.7, p: float=2, eta: float=1e-3, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	增广拉格朗日乘子法

方法的应用（example）

import optimtool.example as oe

Lasso问题（Lasso）

oe.Lasso.[函数名]([矩阵A], [矩阵b], [因子mu], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
gradient(A: NDArray, b: NDArray, mu: float, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, delta: float=10, alp: float=1e-3, epsilon: float=1e-2, k: int=0) -> OutputType	光滑化Lasso函数法
subgradient(A: NDArray, b: NDArray, mu: float, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, alphak: float=2e-2, epsilon: float=1e-3, k: int=0) -> OutputType	次梯度法Lasso避免一阶不可导
penalty(A: NDArray, b: NDArray, mu: float, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, gamma: float=0.01, epsilon: float=1e-6, k: int=0) -> OutputType	罚函数法
approximate_point(A: NDArray, b: NDArray, mu: float, args: ArgArray, x_0: PointArray, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	邻近算子更新

曲线相切问题（WanYuan）

oe.WanYuan.[函数名]([直线的斜率], [直线的截距], [二次项系数], [一次项系数], [常数项], [圆心横坐标], [圆心纵坐标], [初始迭代点])

问题描述：

给定直线的斜率和截距，给定一个抛物线函数的二次项系数，一次项系数与常数项。 要求解一个给定圆心的圆，该圆同时与抛物线、直线相切，若存在可行方案，请给出切点的坐标。

方法头	解释
solution(m: float, n: float, a: float, b: float, c: float, x3: float, y3: float, x_0: tuple, draw: bool=False, eps: float=1e-10) -> None	使用高斯-牛顿方法求解构造的7个残差函数

混合优化算法（hybrid）

import optimtool.hybrid as oh

近似点梯度下降法（approximate_point_gradient）

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