aluno_exatas 0.8.3

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Tutorial para o módulo aluno_exatas

aluno_exatas.fis_exp

Esse módulo tem como objetivo auxiliar o aluno que está cursando física experimental. Além de automatizar a propagação, permite gerar funções que facilitam a manipulação dos dados medidos.

aluno_exatas.fis_exp.FisExp

Essa classe é útil principalmente na propagação de incertezas.

Importando módulos úteis:

import aluno_exatas.fis_exp as fe
import numpy as np

Inicializando o módulo

A variável f irá conter um objeto FisExp cuja função principal é a+b*c. Nesse objeto, pode ser achada a propagação de incertezas da função principal.

f = fe.FisExp('a**2+b*c')

print ('Função principal: ', f.funcao)
print ('Variáveis da função principal: ', f.variaveis, '\n')
print ('Propagação de incertezas da função principal: ', f.propagacao)
print ('Incertezas da propagação de incertezas: ', list(f.incertezas.values()))

Função principal:  a**2 + b*c
Variáveis da função principal:  {c, b, a} 

Propagação de incertezas da função principal:  sqrt(4*a**2*u_a**2 + b**2*u_c**2 + c**2*u_b**2)
Incertezas da propagação de incertezas:  [u_c, u_b, u_a]

Definindo valores conhecidos

Nesse caso, os valores de a e b são constantes, assim como as incertezas de a e c. Os valores desconhecidos são c e a incerteza de b.

f.valores_conhecidos = {'a':4, 'b':2}
f.incertezas_conhecidas = {'a':1, 'c':2}

print ('Função com valores constantes substituídos: ', f.funcao_substituida)
print ('Propagação com valores constantes substituídos: ', f.propagacao_substituida)

Função com valores constantes substituídos:  2*c + 16
Propagação com valores constantes substituídos:  sqrt(c**2*u_b**2 + 80)

Criação de funções

Agora são criadas funções para calcular o valor da função principal e da propagação em diferentes valores de c e u_b.

f.gerar_funcao(['c'])
f.gerar_propagacao(['c','u_b'])

print ('Função principal avaliada em c=5:', f.funcao_gerada(5))
print ('Propagação avaliada em c=5, u_b=1', f.propagacao_gerada(5,1))

Função principal avaliada em c=5: 26
Propagação avaliada em c=5, u_b=1 10.246950765959598

Essas funções também podem ser utilizadas com valores armazenados em numpy.arrays, o que permite que sejam avaliadas em vários pontos. Quando os parâmetros das funções são vários numpy.arrays, a função é avaliada de forma sequencial, seguindo a sequência de cada array (portanto, os vetores precisam ter o mesmo tamanho).

c = np.linspace(0,50,5)
u_b = np.array([1,1,2,2,1])

print ('Função principal avaliada em diferentes valores de c: ', f.funcao_gerada(c))
print ('Propagação avaliada em diferentes valores de c e u_b: ', f.propagacao_gerada(c, u_b))

Função principal avaliada em diferentes valores de c:  [ 16.  41.  66.  91. 116.]
Propagação avaliada em diferentes valores de c e u_b:  [ 8.94427191 15.37042615 50.7937004  75.5314504  50.7937004 ]

Funcionalidades extra

Se, por alguma razão, o usuário desejar integrar ou derivar a função principal, há funções que permitem isso.

print ('Função derivada em relação a "a": ', f.derivar('a'))
print ('Função derivada em relação a "a", avaliada em a=1, derivada de índice 2: ', f.derivar('a', ponto_avaliado=1, indice=2))
print ('Função derivada em relação a "a", com valores conhecidos substituídos: ', f.derivar('a', substituir=True), '\n')

print ('Integral da função em relação a "a": ', f.integrar('a'))
print ('Integral da função em relação a "a", avaliada entre [0,5]: ', f.integrar('a', limites=[0,5]))
print ('Integral da função em relação a "c", avaliada entre [0,5], com valores conhecidos substituídos: ', f.integrar('c', limites=[0,5], substituir=True))

Função derivada em relação a "a":  2*a
Função derivada em relação a "a", avaliada em a=1, derivada de índice 2:  2
Função derivada em relação a "a", com valores conhecidos substituídos:  8 

Integral da função em relação a "a":  a**3/3 + a*b*c
Integral da função em relação a "a", avaliada entre [0,5]:  5*b*c + 125/3
Integral da função em relação a "c", avaliada entre [0,5], com valores conhecidos substituídos:  105

aluno_exatas.fis_exp.MMQ

Essa classe foi feita para facilitar a utilização do MMQ linear, com incertezas variáveis ou não.

Importação de módulos

O módulo fis_exp já foi importado, de forma que não é necessário importá-lo novamente.

Inicializando o módulo

O módulo pode ser inicializado de diferentes formas, dependendo de que tipo de MMQ se quer calcular.

mmq_inc_iguais = fe.MMQ()
mmq_inc_varia = fe.MMQ(fe.Incertezas.variaveis)

Definição de valores

Os módulos podem receber lists, numpy.ndarrays ou números normais (no caso de incerteza_y para incertezas iguais).

x = [0, 1, 2, 3, 4]
y = np.array([1, 3, 7, 8, 10])

mmq_inc_iguais.x_values = x
mmq_inc_iguais.y_values = y
mmq_inc_iguais.incertezas_y = 1

mmq_inc_varia.x_values = x
mmq_inc_varia.y_values = y
mmq_inc_varia.incertezas_y = [1, 1, 2, 1, 3]

Recebendo de volta os coeficientes

Os coeficientes da função na forma y = a + b*x são retornados no formato [a,b], assim como as incertezas.

coef_inc_iguais, incert_inc_iguais = mmq_inc_iguais.coeficientes()
coef_inc_varia, incert_inc_varia = mmq_inc_varia.coeficientes()

print ('Coeficientes da função com incerteza constante: ', coef_inc_iguais)
print ('Incertezas dos coeficientes da função com incerteza constante:', incert_inc_iguais, '\n')

print ('Coeficientes da função com incerteza variável: ', coef_inc_varia)
print ('Incertezas dos coeficientes da função com incerteza variável:', incert_inc_varia)

Coeficientes da função com incerteza constante:  [1.2 2.3]
Incertezas dos coeficientes da função com incerteza constante: [0.77459667 0.31622777] 

Coeficientes da função com incerteza variável:  [1.01265823 2.36075949]
Incertezas dos coeficientes da função com incerteza variável: [0.65822785 0.14556962]

aluno_exatas.calc_num

Esse módulo tem como objetivo auxiliar o aluno que está cursando cálculo numérico. Contém funções que implementam conceitos aprendidos em aula.

Importando módulos úteis:

import aluno_exatas.calc_num as cn
import numpy as np

Métodos de aproximações sucessivas para achar zero de funções

Definindo a função que será usada e sua derivada

A definição da derivada é necessária para o método de Newton.

def f(x):
    return x+np.cos(x)

def flinha(x):
    return 1-np.sin(x)

Definindo aproximações iniciais para os métodos da secante, newton e bissecção

• O método da secante precisa apenas da própria função e de duas aproximações para a raiz;
• O método de Newton precisa da função, sua derivada, e uma aproximação inicial;
• O método da bissecção precisa própria função e de duas aproximações para o intervalo que contém a raiz.

x_secante = 0.0
xo_secante = 1.0

x_newton = 1.0

a_bi = -1.0
b_bi = 0.0

print('Função inicial avaliada nas aproximações iniciais:')
print('f(-1) =', f(-1))
print('f(0) =', f(0))
print('f(1) =', f(1))

Função inicial avaliada nas aproximações iniciais:
f(-1) = -0.45969769413186023
f(0) = 1.0
f(1) = 1.5403023058681398

Testando cada um dos métodos

Os métodos irão rodar por 9 iterações e será possível observar a qualidade da aproximação de cada um.

O método da secante, que é sujeito a erros por estar realizando divisão por 0, evita isso retornando os mesmos valores de x e xo que foram utilizados como entrada da função.

for i in range(10):
    x_secante, xo_secante = cn.metodo_secante(f, x_secante, xo_secante)

    x_newton = cn.metodo_newton(f, flinha, x_newton)

    a_bi, b_bi = cn.metodo_bisseccao(f, a_bi, b_bi)

print('Raiz encontrada pelo método da secante:')
print('x =', x_secante, '| xo =', xo_secante)
print('f(x) =', f(x_secante), '| f(xo) =', f(xo_secante))

print('\nRaiz encontrada pelo método de Newton:')
print('x =', x_newton)
print('f(x) =', f(x_newton))

print('\nIntervalo encontrado pelo método da bissecção:')
print('Raiz está entre:', (a_bi, b_bi))
print('f(a) =', f(a_bi), '| f(b) =', f(b_bi))

Raiz encontrada pelo método da secante:
x = -0.7390851332151607 | xo = -0.7390851332151607
f(x) = 0.0 | f(xo) = 0.0

Raiz encontrada pelo método de Newton:
x = -0.7390851332151607
f(x) = 0.0

Intervalo encontrado pelo método da bissecção:
Raiz está entre: (-0.7392578125, -0.73828125)
f(a) = -0.0002890091467900868 | f(b) = 0.001345149751805108