escalonamento 0.0.1

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Escalonamento de Matrizes Quadradas

O escalonamento de matrizes é um procedimento algébrico que podemos utilizar para resolver sistemas lineares onde o número de equações não é, necessariamente, igual ao número de incógnitas. Resolver um sistema linear significa encontrar os valores das incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Como utilizar

📋 Pré-requisitos

Para utilizar a função de escalonamento, é necessário que seja importado as bibliotecas numpy e numpy.linalg

import numpy as np
from numpy.linalg import det, inv

Também é necessário que a determinante da matriz seja diferente de 0, para isso utilize a função "det" na matriz

#Matriz exemplo
A = np.array([[0.5235**3,0.5235**2,0.5235,1],[0.7853**3,0.7853**2,0.7853,1],[1.0471**3,1.0471**2,1.0471,1],[1.5707**3,1.5707**2,1.5707,1]])
D = det(A)
D

🔧 Aplicação

Existem duas formas para utilizar a função:

Primeira forma

A primeira forma é alterando uma coluna de cada vez, para isso você irá primeiro transformar em 1 a diagonal principal da sua coluna, chamando a função "F_UM":

def F_UM(matriz, coluna):
  matriz[[coluna]] = matriz[[coluna]]*(1/(matriz[[coluna],[coluna]]))
  
F_UM(matriz, coluna)

E depois chamando a função "F_ZERO", para transformar o resto da coluna em zero:

def F_ZERO(matriz, coluna, tamanho):
  i=0
  while(i<tamanho):
    if (i==coluna):
      i=i+1
    else:
      matriz[[i]] = matriz[[i]] + matriz[[coluna]]*(matriz[[i],[coluna]]*-1)
      i=i+1

F_ZERO(matriz, coluna, tamanho)

E repita esse processo até terminar.

Segunda forma

E a segunda forma seria utilizando as duas funções juntas, em uma só:

def escalonamento(matriz, tamanho):
  coluna=0
  
  while(coluna<tamanho):
    matriz[[coluna]] = matriz[[coluna]]*(1/(matriz[[coluna],[coluna]]))
    i=0
    while(i<tamanho):
      if (i==coluna):
        i=i+1
      else:
        matriz[[i]] = matriz[[i]] + matriz[[coluna]]*(matriz[[i],[coluna]]*-1)
        i=i+1
    print(f"Coluna {coluna} alterada")
    print(f"{matriz}")
    coluna=coluna+1

escalonamento(matriz, tamanho)

⚙️ Exemplos para teste

1 Exemplo:

Projete um método para aproximar sen x por um polinômio cúbico no intervalo 0 ≤ x ≤ π/2.

2 Exemplo:

A força de sustentação da asa de um projeto de aeronave é medida em várias velocidades, como segue:

Velocidade (30m/s) 1 2 4 8 16 32 Força de sustentação 50 kgf 0 3,12 15,86 33,7 81,5 123,0

Encontre um polinômio interpolador de grau 5 que modela os dados e use seu polinômio para estimar a força de sustentação a 600 m/s.

Escalonamento de Matrizes MxN

O escalonamento de matrizes é um procedimento algébrico que podemos utilizar para resolver sistemas lineares onde o número de equações não é, necessariamente, igual ao número de incógnitas. Resolver um sistema linear significa encontrar os valores das incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Como utilizar

📋 Pré-requisitos

Para utilizar a função de escalonamento, é necessário que seja importado as bibliotecas numpy e numpy.linalg

import numpy as np

🔧 Aplicação

def escalonamento(matriz, m, n):
  coluna=0
  #Auxiliar para achar o pivo
  pivo=0
  
  while(coluna<n and coluna<m):
    if (matriz[[pivo],[coluna]]!=0):
      matriz[[pivo]] = matriz[[pivo]]*(1/(matriz[[pivo],[coluna]]))
      i=0
      while(i<m):
        if (i==pivo):
          i=i+1
        else:
          matriz[[i]] = matriz[[i]] + matriz[[pivo]]*(matriz[[i],[coluna]]*-1)
          i=i+1
      print(f"Coluna {coluna} alterada")
      print(f"{matriz}")
      pivo=pivo+1
      coluna=coluna+1
    else:
      print(f"Coluna {coluna} pulada")
      coluna=coluna+1

escalonamento(matriz, m, n)

⚙️ Exemplos para teste

3 Exemplo:

Considere o sistema linear homogêneo:

(x1)+3(x2)-2(x3)+2(x5)=0

(x1)+6(x2)-5(x3)-2(x4)+4(x5)-3(x6)=0

5(x3)+10(x4)+15(x6)=0

2(x1)+6(x2)+8(x4)+4(x5)+18(x6)=0

📦 Desenvolvimento

Essa função é útil na utilização de conteúdos da matéria de Algébra Linear

🛠️ Construído com

• Colaboratory - Ferramenta utilizada

✒️ Autores

• João Bernardo Del Rio - Desenvolvedor - JheyBi