fieldlines

Lignes de champ électrique et magnétique, et équipotentielles, pour des figures de cours : des charges, des fils et des plans chargés, des dipôles, des fils et des nappes de courant, des spires, des solénoïdes, des aimants, un champ uniforme. On les pose dans une carte, on choisit où partent les lignes, on retouche celles qui gênent en les désignant par leur nom, et on trace avec matplotlib.

import matplotlib.pyplot as plt
from fieldlines import Carte, Charge

carte = Carte([Charge(2, (-1, 0)), Charge(-1, (1, 0))], cadre=(-4, 4, -3, 3))
carte.lignes_selon_flux(nombre=16)

fig, ax = plt.subplots()
carte.trace(ax)  # lignes, flèches, charges
carte.trace_equipotentielles(ax, carte.niveaux(20, echelle="log", symetrique=True))
plt.show()

Le paquet s'installe depuis GitHub (ci-dessous). Pas de PyPI.

Sommaire

• Ce qu'il fait
• Installation
• Prérequis
• Prise en main
• Les sources
• Unités réduites et valeurs SI
• Recettes pour le champ magnétique
• Pièges
• Les modules
• Le calcul des lignes
• Passer d'efieldlines à fieldlines
• Exemples
• Tester
• Antériorité
• Licence

Ce qu'il fait

• Des lignes intégrées sur le champ exact, pas interpolé sur une grille : chaque ligne suit scipy.integrate.solve_ivp et s'arrête sur un événement localisé exactement — arrivée sur une charge (la ligne la touche), sortie du cadre, ligne refermée (champ magnétique), point de champ nul.
• Des départs qui ont un sens physique. Autour des charges à angles réguliers ; selon le flux, en nombre proportionnel à la charge et sans ligne tracée deux fois ; le long d'un segment, à flux égal dans la figure ou dans l'espace.
• Des lignes nommées et retouchables : ajuste(12, fleches=[0.3, 0.8]), retire(range(23, 29)), des numéros qui ne bougent jamais.
• Le champ magnétique à la hauteur du champ électrique : spire exacte (intégrales elliptiques), solénoïde, bobines de Helmholtz, aimant, nappe de courant, champ uniforme ; lignes fermées ; fonction de flux Ψ exacte, dont les lignes de niveau sont les lignes de champ, pour des tubes de flux égal.
• Des sources personnalisées en une vingtaine de lignes (Source), pour un potentiel imposé ou un champ qui n'est celui d'aucune distribution connue.
• Des unités réduites pour les lignes, et deux constantes pour revenir aux volts et aux teslas.

Installation

Avec pip depuis PyPI, quand le réseau et pip sont disponibles :

pip install fieldlines

(ou uv add fieldlines). Depuis GitHub, pour la version de développement :

pip install git+https://github.com/antnardo/fieldlines

Avec la roue d'une release, pour un poste qui a pip mais pas git : chaque release porte fieldlines-<version>-py3-none-any.whl (et le sdist .tar.gz, avec examples/), qui s'installe par pip install fieldlines-<version>-py3-none-any.whl.

Copier le dossier, sans pip ni réseau : le dossier src/fieldlines/ se pose à côté des scripts, et from fieldlines import Carte, Charge fonctionne, à condition d'exécuter le script depuis son dossier.

Pour développer, un clone et uv :

git clone https://github.com/antnardo/fieldlines
cd fieldlines && uv sync && uv run pytest

Prérequis

Python 3.11 ou plus récent, avec numpy (1.26 ou plus), scipy (1.11 ou plus) et matplotlib (3.8 ou plus). Le paquet est testé sous Python 3.11 et 3.14.

Prise en main

Carte(sources, cadre) prend la liste des sources et le cadre (xmin, xmax, ymin, ymax) de la figure ; une carte ne mêle pas sources électriques et magnétiques. Les positions sont des couples (x, y), les angles sont en radians, comptés depuis Ox.

On y place des lignes de quatre façons, qui se combinent :

• lignes_autour(nombre, rayon, angle) : nombre lignes autour de chaque source où des lignes aboutissent (charges, fils chargés, dipôles), régulièrement espacées en angle (en sin θ pour un dipôle). Une ligne qui va d'une charge à une autre est tracée depuis chacune ;
• lignes_selon_flux(nombre, rayon, angle) : à flux égal, en nombre proportionnel à la charge (nombre pour la plus forte), sans tracer deux fois la même ligne : autour d'une charge négative, on n'ajoute que les lignes qui ne lui sont pas déjà arrivées ;
• lignes_le_long(debut, fin, nombre, repartition) : depuis un segment, à flux égal du champ de la figure ("flux"), à flux égal dans l'espace pour des sources de révolution ("flux_revolution"), ou à intervalles réguliers ("reguliere"). C'est ainsi qu'on place les lignes du champ magnétique, qui n'aboutissent nulle part ;
• ajoute_ligne(depart, nom=None) : une ligne à la main.

Chaque ligne a un nom : un numéro, attribué dans l'ordre de création et jamais réutilisé, ou un texte choisi. trace_noms(ax) les écrit sur la figure ; on retouche ou retire ensuite par nom, autant de fois qu'on veut, et on relit ce qu'on a réglé :

carte.lignes_autour(nombre=16, rayon=0.2)
carte.ajuste(30, 38, fleches=[0.45])          # flèche à 45 % de la longueur visible
carte.ajuste(12, marge=2, style={"color": "r"})
carte.retire(range(23, 29), 47)
carte.options(12).fleches, carte.depart(12)   # les réglages et le départ de la ligne 12

Les réglages d'une ligne (Options, dans fieldlines.integration) :

Le tracé :

Les niveaux des équipotentielles viennent de carte.niveaux(nombre, echelle, symetrique, vmin, vmax, seuil, ajoute) : linéaires ou logarithmiques (echelle="log"), symétriques (± une progression de seuil × max(|V|) au maximum de |V|, seuil=1e-3 par défaut) ou non, entre les extrêmes du potentiel sur la grille ou entre des bornes données, plus des niveaux ajoutés. Sur une carte magnétique, niveaux porte sur la fonction de flux (grandeur="flux"), pour trace_lignes_de_flux. Les couleurs couvrent [Vmin, Vmax]/10^contraste ; trace_equipotentielles rend le QuadContourSet, à passer à ax.clabel pour écrire les valeurs, ou dont on réutilise le norm pour tracer une autre carte avec les mêmes couleurs.

Les valeurs elles-mêmes : carte.champ(x, y), carte.potentiel(x, y) et carte.flux(x, y) (vectorisés) ; carte.grille("potentiel") ou carte.grille("flux") sur une grille du cadre.

Les sources

Chaque source électrique a son symétrique magnétique quand il existe. Les formules sont en unités réduites (ci-dessous).

Fils, plans et nappes sont perpendiculaires à la figure (problème plan) ; spires, solénoïdes, aimants et dipôles sont dans un plan méridien qui contient leur axe. Un plan ou une nappe est la droite qui passe par position avec l'angle angle.

Une source personnalisée hérite de Source et donne son noyau vectorisé (lots) et ses singularités (singularites), plus potentiel, flux_plan ou flux_revolution si elle les a : fieldlines.sources en est la documentation, ChampUniforme le plus court modèle, et l'exercice EM-ES26 du cours (un potentiel imposé) un autre.

Unités réduites et valeurs SI

Le paquet calcule avec 1/(4π ε0) = 1 et μ0/(4π) = 1 : une charge q crée E = q/r², un fil parcouru par I crée B = 2I/r. Les lignes de champ et les équipotentielles ne dépendent pas de ce choix ; les valeurs, si. Ce que ax.clabel écrit sur les équipotentielles est q/r, pas des volts.

Pour revenir au SI, les charges en coulombs (λ en C/m, σ en C/m²), les courants en ampères (j et M en A/m) et les longueurs en mètres :

from fieldlines import K_COULOMB, MU0_SUR_4PI  # 1/(4π ε0) = 8,99·10⁹ ; μ0/(4π) = 10⁻⁷

ex, ey = carte.champ(x, y)
E_si = K_COULOMB * ex, K_COULOMB * ey          # V/m, et V = K_COULOMB * carte.potentiel(x, y)
bx, by = carte_magnetique.champ(x, y)
B_si = MU0_SUR_4PI * bx, MU0_SUR_4PI * by      # T
ax.clabel(contours, fmt=lambda v: f"{K_COULOMB * v:.2g} V")

E et B n'ont pas le même facteur : les cartes de ce paquet ne se comparent pas d'un champ à l'autre en valeur.

Recettes pour le champ magnétique

La convention d'axe. La figure est un plan méridien. L'axe d'une spire, d'un solénoïde ou d'un aimant passe par centre dans la direction angle (radians depuis Ox ; Ox par défaut, donc un axe horizontal) ; le courant tourne dans le sens direct autour de cet axe quand I > 0, et la spire perce la figure en ⊙ du côté de l'axe tourné de +90° (en haut pour un axe horizontal) et en ⊗ de l'autre. Pour un axe vertical, angle=math.pi / 2. Les fils et les nappes sont perpendiculaires à la figure, I > 0 vers le lecteur (⊙).

Où faire partir les lignes. Elles n'aboutissent nulle part : lignes_autour refuse, et lignes_le_long prend un segment que chaque ligne de la famille voulue coupe une fois, sans passer à moins du rayon d'arrêt d'une source.

Un nombre pair de départs sur le diamètre d'une spire évite la ligne de l'axe, qui ne se referme qu'à l'infini. Un aimant est le solénoïde équivalent : Aimant(M, centre, rayon, hauteur, angle) vaut Solenoide(M * hauteur / spires, centre, rayon, hauteur, spires, angle), et se dessine en coupe avec ses pôles ; pour un aimant réel, M en A/m et B (T) = MU0_SUR_4PI × le champ calculé (exercice OO-EM65).

La fonction de flux. Pour des fils de courant (problème plan), Ψ = A_z ; pour des sources qui ont toutes le même axe de révolution (charges sur l'axe, dipôles, spires, solénoïdes et aimants alignés sur lui, champ uniforme parallèle), Ψ est la fonction de Stokes, ρ A_φ pour une spire. Les lignes de champ sont les lignes de niveau de Ψ : trace_lignes_de_flux(ax, niveaux) les trace directement et exactement, carte.niveaux(nombre, grandeur="flux") donne des niveaux, et lignes_le_long(..., repartition="flux_revolution") place les départs à ΔΨ égal (spire.py, panneau de droite).

Pièges

• lignes_autour et lignes_selon_flux sur une carte magnétique lèvent ValueError : les lignes n'y aboutissent nulle part, prendre lignes_le_long ou ajoute_ligne.
• lignes_le_long refuse un segment qui passe à moins du rayon d'arrêt d'une source (Reglages.arret × diagonale du cadre, 10⁻³ par défaut) : les lignes s'y arrêteraient aussitôt. Écarter le segment, ou réduire arret.
• ajuste(nom, color="r") lève TypeError : un style de tracé se donne dans style={"color": "r"}. fleches=0.3 (un seul nombre) est accepté.
• niveaux(..., symetrique=True, seuil=s) : seuil est une fraction de max(|V|), pas une valeur absolue. Un seuil absolu empilait des niveaux sur la surface V = 0.
• Une carte ne mêle pas E et B : deux cartes, tracées sur les mêmes axes.
• flux, trace_lignes_de_flux et repartition="flux_revolution" demandent une symétrie : fils de courant seuls, ou sources de même axe (dipôles et spires alignés sur lui, charges dessus). Sinon, ValueError.
• Les valeurs sont en unités réduites : voir ci-dessus avant de lire un clabel.
• lignes_autour trace deux fois chaque ligne qui va d'une charge à une autre ; les retirer par nom, ou prendre lignes_selon_flux.

Les modules

Le calcul des lignes

Chaque ligne est intégrée par scipy.integrate.solve_ivp, vers l'aval puis vers l'amont de son départ, et s'arrête sur un événement : sortie du cadre agrandi de sa marge, arrivée sur une source (la ligne finit alors au centre de la source), retour au point de départ (ligne fermée du champ magnétique), ou champ nul (point d'arrêt). Près d'une source ou d'un point d'arrêt, l'intégration ralentit pour ne pas les enjamber. La précision se règle par Carte(..., reglages=Reglages(...)) ; verbose=True écrit comment chaque ligne s'est arrêtée. Le champ se calcule par lots : un noyau numpy par sorte de source, pour tous les points et toutes les sources d'un coup.

Passer d'efieldlines à fieldlines

Les flèches se placent désormais sur la partie visible de la ligne, et leurs tailles sont en points : arrowsize, qui dépendait du cadre, disparaît.

Exemples

Le dossier examples/ reprend les figures du cours (cartes de champ de charges, de fils chargés, quadrupôle, approximation dipolaire, exercice EM-ES15), montre les départs selon le flux et une charge dans un champ uniforme, et ajoute le champ magnétique : fils, spire, bobines de Helmholtz, solénoïde, aimant, dipôle magnétique. Chaque script enregistre sa figure en PDF à côté de lui.

Tester

uv run --python 3.11 pytest
uv run --python 3.14 pytest
uv run ruff check src tests examples && uv run ruff format --check src tests examples
uv run mypy
uv build

Les tests confrontent les champs aux formules (Coulomb, fil infini, nappe de fils, axe d'une spire, loi de Biot et Savart, dipôle lointain, solénoïde, aimant) et vérifient les propriétés des lignes : tangentes au champ, d'une charge positive à une négative, potentiel décroissant, lignes du champ magnétique fermées et à flux constant. L'intégration continue (.github/workflows/ci.yml) rejoue tout cela à chaque push sous Python 3.11 et 3.14 ; à chaque release publiée, publish.yml vérifie que l'étiquette est la version du paquet et joint la roue et le sdist à la release.

Antériorité

La méthode — suivre pas à pas la direction du champ depuis un point de départ — vient du billet de H. Bauke, Visualizing streamlines (numbercrunch.de, 2013). Le paquet reprend et développe efieldlines, module écrit en 2017 à partir de ce billet pour les figures du cours d'électromagnétisme, et y ajoute le champ magnétique.

matplotlib.streamplot trace des lignes interpolées sur une grille, brisées, avec les flèches près des départs ; rien n'y atteint exactement une charge et une boucle y est reparcourue. magpylib calcule le champ d'aimants et de bobines en trois dimensions (sa spire et son solénoïde coïncident avec ceux de ce paquet à 10⁻¹⁰ près) mais trace par streamplot ; il est le bon outil pour un aimant réel ou du 3D. Le placement des lignes selon le flux est propre au paquet : il ne reprend pas le code du paquet electrostatics de T. J. Duck (GPL), qui résout le même problème autrement. Sans équivalent ailleurs : les départs selon le flux sans doublon, l'arrêt exact, les flèches à une fraction de la longueur visible, la fonction de Stokes, la retouche par nom.

Licence

Le code — le paquet (src/), les tests et les scripts — est sous licence MIT (LICENSE). Les exemples (examples/), qui sont du contenu scientifique et pédagogique plutôt que des algorithmes, sont sous licence Creative Commons Attribution - Pas d'utilisation commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International, CC BY-NC-SA 4.0 (LICENSE-CC-BY-NC-SA-4.0).