kappalogic 0.56.0

tanh(x/xi)ベースの擬連続論理ゲート・比較演算子ライブラリ

kappalogic

kappa(x/ξ) = tanh(x/ξ)(切り替え可能なカーネル、デフォルトはtanh。他にerf/algebraic)を唯一の基本ブロックにして、離散的な論理演算・比較演算・場合分けを「実数上の滑らかな式」として書き直すライブラリ。

ξ→0で厳密な離散論理に、ξ>0で微分可能な緩和になる。同じtanh(x/ξ)が、AND/OR/XORのような論理ゲート・比較演算子だけでなく、熱核・統計力学(フェルミ分布)・場の理論(キンクソリトン)・双曲幾何(ゲージ理論的構造)・情報幾何(Fisher-Rao計量)など、複数の分野に共通して現れることを、実際に手を動かして検証しながら積み上げている。

PyPIに公開済み: pip install kappalogic

pip install -e .          # ローカル開発の場合
pip install kappalogic    # PyPI経由
pip install kappalogic[torch]  # PyTorchバックエンド(オプション)も使う場合

使用例

from kappalogic import gt, AND, OR, k, sgn
from kappalogic import kink_energy_exact, fermi_occupation
from kappalogic import rapidity, or_n_fusion_is_safe, not_tower_threshold

gt(5, 3)                                    # 1.0 (5 > 3)
AND(0.9, 0.8)                                # ほぼ1.0 (両方とも十分非ゼロ)
kink_energy_exact(xi=1.0)                    # 4/3 (φ^4理論のキンクソリトンの厳密な質量)
fermi_occupation(eps=0.3, mu=0.5, kT=0.1)    # フェルミ・ディラック分布と機械精度で一致

k(5) == sgn(5)                               # True (kはsgnの別名)
rapidity(1.0, xi=0.5)                        # (1+k(x))/(1-k(x)) = exp(2x/xi)
or_n_fusion_is_safe([3.0, 0.01, 0.02], xi=0.1)  # OR_nの安全な融合条件を判定

構成

モジュール	内容
core.py	sgn/reg/AND/OR/NAND/NOR/XOR/XNOR/比較演算子、n項融合版AND_n/OR_n
funcs.py	整数・奇偶判定(intf/par)、max/min/clamp、MOD演算子、ディラックのデルタ函数近似
kernels.py	tanh/erf/algebraicカーネルの切り替え
theory.py	reg/AND/OR系の勾配構造・誤分類境界の厳密な命題群(命題1〜21、証明・数値検証付き)
identities.py	k(x)=tanh(x/ξ)の加法定理・n倍角公式・連分数・部分分数展開・無限積・Gudermannian函数・積分形(kernel="tanh"限定)
gauge.py	ξの大域/局所変換とアフィン群構造、(x,ξ)半平面のキリングベクトル場、測地線の保存量
dynamics.py	NOT写像の自然な放物型不動点、Koenigs座標・アベル函数・連続反復
info_theory.py	de Bruijnの恒等式、フィッシャー情報幾何とgauge.pyの双曲計量の一致
bridge.py	Σ(離散和)↔∫(連続積分)、Π(離散積)↔∫の橋渡し、階乗とΓ関数
torch_backend.py	PyTorchのautogradによる高速な数値検証・可視化・学習可能なξ(オプション依存)
matrix_backend.py	非可換(行列/演算子)版kappalogic。FOE方式で対角化せず行列版k/reg/フェルミ占有数を計算、Eigenlogic流のテンソル積で符号を区別しない版と区別する版のAND/OR、DMPT由来の高速な行列版感度解析(matrix_susceptibility)
heat.py / quantum_well.py	拡散時間としてのξ、熱核・無限井戸型ポテンシャルの量子プロパゲータ
field_theory.py	φ^4理論のキンクソリトン(EOM・厳密エネルギーの証明付き)、線形安定性スペクトル(Poschl-Teller型ポテンシャル、shape mode)、キンク・反キンク衝突の動的シミュレーション
stat_mech.py / electronic_structure.py	分配関数、Witten指数、フェルミ・ディラック占有数
topology.py / spacetime.py	モース理論によるオイラー標数、光円錐の指示関数
applications.py / search.py	クロネッカーのデルタ・コラッツ漸化式、勾配ベース探索・アニーリング
examples/	実行できるデモ4本

開発の経緯・迷った点・次にやりたいことはdev_notes.md、進行中の課題はTODO.mdを参照。

命題まとめ(理論的な柱)

theory.pyを中心に、reg(x;ξ)=tanh(x/ξ)²という単一の「非単調な検出器」から作られる6つの論理ゲート(AND, OR, NAND, NOR, XOR, XNOR)の勾配構造・誤分類境界を、閉じた形の式として体系的に導出・数値検証した。すべてtests/に対応するテストがある。

#	対象	結果
1	reg'(x)の最大値	x* = ξ·arctanh(1/√3) で最大
3	AND_nの安全条件(修正版)	全部の値が`
4	ORの勾配(二重共鳴)	d/da OR = reg'(a)·(1-reg(b))·reg'(p)、p=(1-reg(a))(1-reg(b))
5	AND/ORの分類	ANDはa·b/ξという1変数に還元できる(部分ディレーション不変)、ORはできない
6	ORの第二共鳴・2D危険地図の尾根	v* = -½ln(ξ) - ½ln(w0/(4sech²(c)))(w0は超越方程式の解、(a,b)平面全体の真の尾根でもある)
7	ゲージ理論的構造(gauge.py)	ξの並進+ディレーションがアフィン群Aff(1,R)、(x,ξ)半平面の双曲計量のキリングベクトル場
8	ORの誤分類境界(2変数)	u+v = ½ln(1/ξ) + K、K=½ln(16/arctanh(1/√2))
9	OR_nの誤分類境界(n変数)	Σu_k = ½ln(1/ξ) + K(n)、K(n)=½ln(4ⁿ/A)
10	OR_nのfold-vs-fuse安全条件	少なくとも1つがξ·(C*(ξ)+M)を超え、かつξ≤e^{-2M}(証明に必要な技術条件、数値的に必要性も確認)なら誤差≤exp(-4M)。v0.56で完全な初等証明を与えた(数値検証だけの命題から昇格)。詳細はpapers/or_n_safety_theorem.md
11	NANDの閾値	a·b ≈ √A·ξ^1.5(ANDとは異なるスケーリング則)
12	NORの誤分類境界	u+v = ½ln(1/ξ) + K_NOR(ξ)(二重対数補正)
13〜15	XOR/XNORのb=0・対角線断面	対数のネスト構造、対角線ではLambert W函数が登場
16	NOT合成塔の統一理論	命題11・13・15を「NOTをn回重ねる」という1つの一般式に統合。Ψ_n(n≥2)は「XORにNOTをn-2回重ねたゲートのb=0断面」に厳密一致(n≥4にも具体的なゲートがあった)
17〜18	NOT写像の自然な不動点(dynamics.py)	乗数がちょうど-1になる臨界ξ、自乗すると3次接触の縮退した放物型になる一般補題
19〜20	XOR/XNORの2D境界	片方が大きい極限でv≈½ln(4u/threshold)という対数スケールの境界
21	厳密な双曲線恒等式	Σln(cosh(a_k/ξ)) = ½ln(1/(ξA)) — 命題6・8・9・12・13・15・19・20の"近似"の正体は、この(初等的だが見落としていた)厳密な恒等式だった。数学的にはsech=1/coshの言い換えに過ぎず新しい数学ではないが、複数の命題を統一する整理として有用
22	NOT合成塔の厳密版と力学系(命題17〜18)への接続	S_{k-1}:=ξ·arctanh(√(1-S_k))という厳密な逆関数(これも初等的な代数、新しい数学ではない)で命題16を非漸近化。この逆再帰が実はNOT写像(命題17)の逆軌道そのものだったと判明——ξ<ξ_c(命題17の臨界値)でのみ収束し、収束レートは1/多重子に厳密一致。無限段のNOT合成塔の収束限界と、パラボリック分岐の臨界点が同一だった、という内部的な統一が主な収穫

情報幾何: ガウス分布族N(μ,σ²)のフィッシャー情報計量が、μ':=μ/√2という再スケールで命題7の双曲計量と厳密に(定数2倍を除いて)一致する(ガウス曲率K=-1/2)。

論文化を目指している結果

papers/or_n_safety_theorem.md: 命題10(OR_nのfold-vs-fuse安全条件)を 完全な初等証明付きの定理として書き下した技術ノート(英語、学会・ プレプリント投稿の叩き台)。van Krieken (2022)・Petersen (2022, 2024)の 微分可能論理ゲート研究に対する位置づけ、証明、数値検証、正直な限界 (証明は緩い、AND側には同様の閉形式がないことの確認、必要十分条件は 未解決)まで含む。

検証済みの主な結果

• 原案の3件のバグを発見・修正((A>B)が実質(A≠B)と同じ値だった、par(x)の偶奇判定ミス、コラッツ漸化式の分岐条件ミス)
• kernel="erf"が階段状初期条件の熱拡散の厳密解と一致(誤差5.7e-5)
• 有限区間の熱核・無限井戸型ポテンシャルの量子プロパゲータが固有関数展開と機械精度(~1e-13)で一致
• SUSY QMのWitten指数がβ=0.01〜10で厳密に1.000000
• キンクソリトンtanh(x/ξ)がφ^4理論のEOMを厳密に満たし、エネルギーE=4/(3ξ)を導出
• キンクの線形安定性スペクトルがl=2のPoschl-Teller型ポテンシャルに厳密一致(零モードω=0、内部モードω=√3/ξ、連続スペクトルはω≥2/ξから。数値対角化でも確認)
• キンク・反キンク衝突の数値シミュレーションで、低速度では"捕獲"、高速度では衝突後に分離する"脱出"という教科書的な速度依存性を定性的に再現。細かい速度走査では、捕獲領域の中に孤立した脱出の窓が現れる"共鳴ウィンドウ"らしき非単調構造も確認(窓の正確な境界は解像度に敏感)
• フェルミ・ディラック分布がsgn(x,2kT)と機械精度で一致

非可換(行列/演算子)版への拡張(進行中)

matrix_backend.pyで、行列版のk/reg/フェルミ占有数を、対角化せずに 再帰的な倍角公式(identities.pyのn_tuple_angleを行列に読み替えた もの、いわゆるFermi Operator Expansion)で計算する。

Eigenlogic (Vourdas & Dubois, 2020)の原論文を実際に読んで確認した ところ、多入力の論理演算は入力ごとに別々のヒルベルト空間を割り当て、 そのテンソル積上でKronecker積により演算子を組み合わせる構成 だった(F_AND = Π_A ⊗ Π_B)。ここで重要な発見があった: Eigenlogic の射影演算子Π(符号で真偽を区別する)は、kappalogicのreg(偶関数 で符号を区別しない)ではなく、k自体から作る"柔らかい射影" soft_projector(H;ξ)=(I+k(H;ξ))/2に対応する。つまりkappalogic 本体のAND(a,b)=「a,bが共に非ゼロか」と、標準的なBoolean論理の AND=「a,bが共に真か」は、そもそも別の概念だった。

このため非可換版のAND/ORは2種類実装している:

• tensor_AND/tensor_OR: kappalogic本体のAND/OR(符号を区別しない) をそのまま行列に一般化。1x1行列でkappalogic本体と機械精度で一致。
• eigenlogic_AND/eigenlogic_OR: Eigenlogic論文の構成を soft_projectorで一般化。符号を区別する正真正銘のBoolean論理で、 ξ→0で通常の真理値表と厳密に一致する。

いずれもH1,H2が非可換でも常にHermitianになる(v0.43のJordan積の ような場当たり的な補正が不要)。

Vourdasの非加法性演算子(2015)は、原論文を読んで実際に検証した 結果、kappalogicとは別物だと判明した——真の部分空間射影演算子で 検証すると、Vourdasの式(交換子との厳密な関係)は機械精度で成立する が、kappalogicのJordan積ベースのAND/ORは、xi→0でもこの真の "交わり・結び"射影には収束しない(むしろ乖離が大きくなる)。無理に 対応させず、「kappalogicの範囲外」と見極めた。

DMPT (Niklasson et al. 2024)から輸入できた実用的な高速化: matrix_susceptibility関数を追加した。Tr[A·f(H)]のHに関する 全微分行列が、f(H+λA)をλについて1方向だけ微分するだけで求まる (成分ごとの数値微分よりO(n²)倍速い、8x8行列で実測60倍)。 kappalogic自身のmatrix_k(FOEの再帰倍角展開)にそのまま適用できる ことを検証した(誤差~1e-9で成分ごとの数値微分と一致)。

先行研究との関係(誠実な位置づけ)

要素技術のほとんどは既存研究の再発明である。

このライブラリの要素	対応する既存研究
tanhベースの滑らかな指示関数	相分離理論(Allen-Cahn方程式、1979年〜)
微分可能論理ゲート・fuzzy論理演算子の勾配消失分析	van Krieken et al. (2022, Artificial Intelligence)、Petersen et al. (2022 NeurIPS, 2024 CVPR)のdifflogic、2025〜2026年の後続研究
フィッシャー情報幾何(ガウス族)=双曲平面、曲率-1/2	Rao (1945)以来の古典的結果。Costa, Santos & Strapasson (2015)が同じ再スケール式を明示
アフィン群/双曲計量のキリングベクトル場	双曲幾何・連続ウェーブレット変換の表現論の古典的結果("ax+b group")
k(x)=tanh(x/ξ)の加法定理・連分数・無限積	双曲線関数論の古典的結果(Lambertの連分数は1768年)
放物型不動点(乗数-1)	周期倍分岐そのもの(ロジスティック写像等で教科書的)。「自乗すると3次接触になる」という補題は文献に見当たらなかった
フェルミ・ディラック占有数=sgn(x,2kT)	DFT計算の電子スメアリング手法(既存技法)
単一プリミティブから論理ゲート全部を演算子として合成(テンソル積で多入力を扱う)	Eigenlogic (Vourdas, Entropy 2020) (PMC版): 射影演算子からCayley-Hamilton定理・Lagrange補間で構成
交換子による非可換補正の定式化	Möbius operators and non-additive quantum probabilities (Vourdas, 2015): 射影演算子の交換子と厳密に結びつく非加法性演算子
行列版フェルミ占有数ρ=1-tanh(β/2(H-μ))、対角化不要の再帰展開(Fermi Operator Expansion)	Multipole Representation of the Fermi Operator(tanhの極展開・Matsubara形式、identities.pyのMittag-Leffler展開と同じ対象)、Goedecker (1999) 線形スケーリング電子構造、Tensor Coreでの混合精度FOE (2021)、大規模DFT向けsubspace再帰FOE (2023)、核物理へのFOE応用
密度行列の摂動論(行列版の自動微分に相当)	Susceptibility Formulation of Density Matrix Perturbation Theory (2024)、Graph-based Quantum Response Theory (2022)
非可換fuzzy論理の抽象枠組み	Pykacz (1987〜94年)以来の系譜、量子論理の幾何学的量子化。閉形式の誤分類境界のような具体性はない
ξ(温度)をアニーリングしながら学習し最後に離散へ落とす運用	Softsign: Smooth Sign in Your Optimizer (2026)、HESTIA: Hessian-Guided Differentiable Quantization (2026)。論理ゲートの文脈とは無関係だが同じ構造(τ→0/∞で厳密な離散に収束)

確認できていないこと(=おそらく未踏): kappa(x/ξ)=tanh(x/ξ)という単一の検出器プリミティブからAND/OR/NAND/NOR/XOR/XNOR全部を合成し、その誤分類境界をlog(1/ξ)スケールの閉形式群として統一的に導出する、という構成そのものは、検索した範囲で他に見当たらなかった。標準的な微分可能論理ゲート研究は[0,1]上で単調な演算子(積t-norm等)を対象にしており、reg(x)=tanh(x/ξ)²(実数全体を受け取る非単調な検出器)とは系統が異なる。ξを陽に持つ連続緩和パラメータとして非可換版を構成する試み(matrix_backend.py)も、検索した範囲では他に見当たらなかった。

率直な限界(誇張しないための注記)

• hardモード(reg/AND/OR)は離散的な場合分けをif文なしで解析式に埋め込む用途には向くが、それ自体を勾配降下の目的関数にしてNP完全問題を解くのには向かない(勾配消失のため)。
• softモード+アニーリングは「うまくいく場合がある局所探索の補助」であって、P=NPを覆すようなものではない。
• 命題10(OR_nの安全条件)は十分条件であり、必要十分条件までは詰めていない。
• 個々の要素技術はほぼ全て先行研究があり、上の「命題まとめ」もその多くは既知の道具(tanhの飽和、双曲幾何、周期倍分岐)の組み合わせに過ぎない。「大発見」と呼べる新定理・新予想は今のところ出ていない。

可視化

左: OR(a,b)の誤分類地図(命題8)。a,bが両方とも明らかに非ゼロなのに、広い範囲でOR≈0(誤り)になる領域があり、その境界(u+v=一定、黒破線)がぴったり一致することが一目で分かる。 右: NOT合成塔(命題16)とANDの共鳴点のξ→0スケーリング則の比較(log-logプロット)。ゲートによって傾き(スケーリング指数)がはっきり違うことが視覚的に分かる。

kappa(x/ξ)=tanh(x/ξ)が、ξを小さくするにつれて滑らかな曲線から鋭い階段関数(符号関数)へ収束していく様子。

生成スクリプト: visualization/overview_figure.py(pip install -e .後に python visualization/overview_figure.pyでkappalogic_overview.pngが 生成される)。

テスト・サンプル実行

pytest tests/ -v   # torchが無い環境ではtorch関連のテストは自動でskip
python examples/heat_equation_demo.py  # 他、examples/内のデモも実行可能