pyngn 0.1.0

Python Neuro-Glia Networks - 3GSNN-LSM Architecture

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Especificação Formal: GHSNN-LSM Architecture

1. Topologia do Sistema (O Hipergrafo)

O sistema é representado por um Grafo Dinâmico Dirigido e Ponderado $\mathcal{G}(t) = (\mathcal{V}, \mathcal{E}(t))$, imerso em um espaço métrico tridimensional $\mathbb{R}^3$.

1.1 Conjunto de Vértices ($\mathcal{V}$)

O conjunto total de nós é particionado em três subconjuntos funcionais:

$\mathcal{V} = \mathcal{V}{in} \cup \mathcal{V}{res} \cup \mathcal{V}_{out}$

1. $\mathcal{V}_{in}$ (Input Layer): $N_{in}$ neurônios transdutores virtuais.
2. $\mathcal{V}_{res}$ (Reservoir): $N_{res}$ neurônios excitatórios e inibitórios (proporção típica 80/20) organizados esparsamente.
3. $\mathcal{V}_{out}$ (Readout): $N_{out}$ unidades integradoras para decodificação.

1.2 Espaço de Estado ($\Psi$)

O estado global do sistema no instante $t$ é definido pela tupla: $$ \Psi(t) = \langle \mathbf{u}(t), \mathbf{s}(t), \mathbf{M}(t), \mathbf{W}, \mathbf{D}(t), \mathbf{c}(t), \mathbf{\gamma}(t), \mathbf{H}(t) \rangle $$

• Variáveis Neurais (Rápidas):
  • $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^{N_{res}}$: Potencial de membrana.
  • $\mathbf{s} \in {0, 1}^{N_{res}}$: Vetor de spikes (disparos).
• Variáveis Sinápticas e Gliais (Lentas/Adaptativas):
  • $\mathbf{M} \in {0, 1}^{N_{res} \times N_{res}}$: Matriz de Adjacência (Máscara Microglial).
  • $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{N_{res} \times N_{res}}$: Matriz de Pesos Sinápticos (Força base).
  • $\mathbf{D} \in \mathbb{N}^{N_{res} \times N_{res}}$: Matriz de Atrasos (Oligodendrócitos).
  • $\mathbf{c} \in \mathbb{R}^{N_{res}}$: Concentração de Cálcio Astrocitário.
  • $\mathbf{\gamma} \in \mathbb{R}^{N_{res}}$: Ganho Astrocitário (Modulação).
  • $\mathbf{H} \in [0, 1]^{N_{res} \times N_{res}}$: Saúde Sináptica.

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2. Dinâmica Neural (Escala de Tempo: $dt \approx 1ms$)

A evolução do reservatório é governada pelo modelo Leaky Integrate-and-Fire (LIF) com injeção de corrente gliomórfica.

2.1 Equação Diferencial do Potencial

Para cada neurônio $i \in \mathcal{V}_{res}$:

$$ \tau_m \frac{du_i(t)}{dt} = -(u_i(t) - u_{rest}) + R \cdot I_{total}(i, t) $$

Onde:

• $\tau_m$: Constante de tempo da membrana.
• $u_{rest}$: Potencial de repouso.
• $R$: Resistência de membrana (normalmente normalizada para 1).

2.2 Mecanismo de Disparo (Spiking)

$$ s_i(t) = \begin{cases} 1 & \text{se } u_i(t) \geq \theta_{thresh} \text{ e } t > t_{last_spike} + t_{ref} \ 0 & \text{caso contrário} \end{cases} $$ Após o disparo ($s_i(t)=1$), ocorre o reset: $u_i(t) \leftarrow u_{reset}$.

2.3 A Corrente Pentasináptica ($I_{total}$)

Esta equação integra a contribuição de todos os agentes. A corrente total recebida pelo neurônio $i$ é a soma da entrada externa e da recorrência interna modulada:

$$ I_{total}(i, t) = I_{ext}(i, t) + \underbrace{\gamma_i(t)}{\text{Astrócito}} \cdot \sum{j \in \mathcal{V}{res}} \underbrace{M{ij}(t)}{\text{Microglia}} \cdot w{ij} \cdot \underbrace{s_j(t - D_{ij}(t))}_{\text{Oligodendrócito}} $$

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3. Dinâmicas Gliais (Escalas de Tempo: $10ms \to 1000s$)

Os componentes gliais não processam o sinal diretamente, mas modulam os parâmetros da equação pentasináptica.

3.1 Astrócitos: Homeostase de Ganho (Regulador PID Químico)

O astrócito monitora a taxa de disparo local e ajusta o ganho global ($\gamma$) do neurônio para manter o reservatório na "Borda do Caos" (regime crítico).

• Integração de Cálcio (Filtro Passa-Baixa): $$ \tau_{Ca} \frac{dc_i(t)}{dt} = -c_i(t) + s_i(t) $$ (O nível de cálcio $c_i$ é uma média móvel da atividade elétrica).

• Regra de Controle de Ganho ($\gamma$): O objetivo é manter $c_i$ próximo de um Set Point ($\rho_{target}$). $$ \gamma_i(t+1) = \gamma_i(t) + \eta_{astro} \cdot (\rho_{target} - c_i(t)) $$

  • Lógica: Se a atividade é baixa ($c < \rho$), o termo é positivo $\to$ Ganho aumenta. Se alta, Ganho diminui.
  • Restrição: $\gamma_i \in [\gamma_{min}, \gamma_{max}]$.

3.2 Oligodendrócitos: Plasticidade de Atraso (Delay Learning)

Oligodendrócitos ajustam a velocidade de condução (atraso $D_{ij}$) para enriquecer a diversidade temporal do reservatório.

• Atualização Estocástica Baseada em Correlação: A cada intervalo $T_{oligo}$: Seja $Corr(i, j)$ a correlação de disparos entre pré e pós-sináptico. $$ D_{ij}(t+1) = D_{ij}(t) + \Delta D $$ $$ \Delta D = \begin{cases} +1 & \text{se } P < p_{mut} \text{ (Drift aleatório para exploração)} \ -sgn(t_{spike}^i - (t_{spike}^j + D_{ij})) & \text{se } |Corr| > \theta_{sync} \text{ (Ajuste fino STDP)} \ 0 & \text{caso contrário} \end{cases} $$
  • Objetivo: Evitar que todos os sinais cheguem ao mesmo tempo (sincronia excessiva) ou aleatoriamente demais. Cria uma "memória de delay".

3.3 Microglia: Computação Morfológica (Poda e Manutenção)

A Microglia define a topologia ativa $\mathbf{M}$ baseada na eficiência energética.

• Variável de Saúde ($H_{ij}$): Acumula "crédito" quando a sinapse transmite um spike útil (pré dispara e pós dispara logo depois). $$ H_{ij}(t) = (1-\beta)H_{ij}(t-1) + \beta \cdot (s_i(t) \cdot s_j(t - D_{ij})) - \lambda_{metabolica} $$

  • $\lambda_{metabolica}$: Custo fixo de manter uma conexão viva.

• Regra de Poda (Pruning): A cada intervalo $T_{micro}$: $$ M_{ij}(t) = \begin{cases} 0 & \text{se } H_{ij}(t) < \theta_{death} \text{ (Fagocitose)} \ 1 & \text{se } H_{ij}(t) > \theta_{life} \ M_{ij}(t-1) & \text{caso contrário (Histerese)} \end{cases} $$

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4. Readout e Aprendizado (A Interface)

A camada de saída não afeta a dinâmica interna do reservatório (em modo LSM padrão), apenas observa e interpreta.

• Vetor de Estado Líquido ($\mathbf{x}$): Como $s(t)$ é discreto/esparso, o readout lê os traços sinápticos (correntes pós-sinápticas): $$ \tau_{read} \frac{d\mathbf{x}(t)}{dt} = -\mathbf{x}(t) + \mathbf{s}(t) $$

• Equação de Saída ($\mathbf{y}$): $$ \mathbf{y}(t) = \mathbf{W}_{out} \cdot \mathbf{x}(t) $$

• Treinamento (Ridge Regression ou Delta Rule): A matriz $\mathbf{W}{out}$ é ajustada para minimizar o erro quadrático médio entre $\mathbf{y}(t)$ e o alvo $target(t)$. $$ \Delta \mathbf{W}{out} = \eta \cdot (target(t) - \mathbf{y}(t)) \cdot \mathbf{x}(t)^T $$

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5. Algoritmo de Implementação (Pseudo-Código Otimizado)

Para implementação eficiente, recomenda-se o uso de operações matriciais (GPU/TPU) e buffers circulares para os atrasos.

# Estruturas de Dados
N = N_res
Buffer_Spikes = Matrix[Max_Delay + 1, N]  # Histórico de spikes (Ring Buffer)
Cursor = 0  # Ponteiro atual do buffer

# Loop Principal (dt step)
For t in Simulation_Time:
    
    # 1. Obter Spikes Atrasados (Acesso Oligodendrocítico)
    # A matriz D define 'quantos passos atrás' olhar para cada par (j, i)
    # Spikes_Effective[j, i] = Buffer_Spikes[Cursor - D[j,i], j]
    Spikes_In = Gather(Buffer_Spikes, D, Cursor) 
    
    # 2. Calcular Correntes (Integração Pentasináptica)
    # W * M aplica a máscara microglial aos pesos
    # Multiplica pelos spikes atrasados e soma
    Current_Syn = Sum( (W * M) * Spikes_In, axis=pre_synaptic )
    
    # Aplica ganho Astrocitário ao neurônio pós-sináptico
    Current_Total = I_ext + (Current_Syn * Gamma)
    
    # 3. Atualizar Neurônios (LIF)
    U = U * decay + Current_Total
    Spikes_Now = (U > Threshold).astype(float)
    
    # Reset e Refratariedade
    U = Where(Spikes_Now, V_reset, U)
    
    # 4. Atualizar Buffer
    Buffer_Spikes[Cursor] = Spikes_Now
    Cursor = (Cursor + 1) % (Max_Delay + 1)
    
    # 5. Dinâmicas Lentas (Executadas condicionalmente)
    
    # Astrócitos (Todo passo ou subsampling)
    Calcium = Calcium * ca_decay + Spikes_Now
    Gamma += learning_rate * (Target_Rate - Calcium)
    
    # Microglia (A cada T_micro passos)
    If (t % T_micro == 0):
        Health += (Spikes_Now * Spikes_Delayed) - Metabolic_Cost
        M = Where(Health < Death_Thresh, 0, M)
         
    # Readout
    X_trace = X_trace * trace_decay + Spikes_Now
    Y_out = Dot(W_out, X_trace)
    
    # Aprendizado Online (se houver target)
    If Training:
        Error = Target - Y_out
        W_out += alpha * Outer(Error, X_trace)

Considerações Finais sobre a Implementação

1. Esparsidade: A matriz $\mathbf{M}$ será predominantemente zero (esparsidade > 90%). Implementações devem usar formatos de matriz esparsa (CSR/CSC) ou listas de adjacência para eficiência de memória.
2. Buffers de Delay: O maior gargalo de memória é a matriz $\mathbf{D}$ e o buffer circular. Limitar $D_{max}$ é crucial para performance.
3. Estabilidade: O ganho astrocitário ($\gamma$) é a chave para evitar que a rede "exploda" ou "apague". Parâmetros iniciais de $\eta_{astro}$ devem ser baixos para evitar oscilações bruscas.