fabpy 1.0

Python library for calculating and formatting errors in LaTeX in lab work.

FabPy

Библиотека на Python для вычисления и оформления погрешностей в LaTeX в физических лабораторных работах.

Установка

Вы можете использовать для установки pip:

pip install fabpy

Использование

Среднеквадратичное отклонение, случайная, приборная и абсолютная погрешности

fabpy может использоваться в различных средах программирования, однако рекомендуется использовать Jupiter Notebook или Jupyter Lab.

import fabpy as fb

Допустим что у вас некоторые измерения времени t = [21.5, 22.1, 21.9] с погрешностью прибора измерения $\Delta t = 0,2 ,с$. Занесем эти данные в объект Values:

import fabpy as fb

t = fb.Values(name='t', values=[21.5, 22.1, 21.9], delta=0.2)

---

Объект Values имеет такие параметры как:

• name - имя переменной, которое будет использоваться в формулах LaTeX;
• values - значения измерений, может принимать как множество значений (list, tuple), так и одно значение (int, float);

Учитывайте, что при создании объекта с одним значением ($n = 1$), случайная погрешность (RandomError) будет равно 0, т.к. при расчете среднеквадратичного отклонения (StandardError), знаменатель равен 0;

$$S_t = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (\overline{t} - t_i)^2}{n(n-1)}}$$

• delta - погрешность измерительного прибора в тех же единицах, что и измерения;
• roundoff - количество знаков после запятой для округления;
• alpha - доверительный коэффицент для расчета доверительного интервала. По умолчанию 0.95;
• use_instrumental_error - использовать ли при расчетах абсолютной погрешности приборную погрешность;
• use_random_error - использовать ли при расчетах абсолютной погрешности случайную погрешность;
• rounded - использовать при расчетах округленные значения (по roundoff) или точные значения;

---

После создания объекта класса, можно и получить необходимые данные.

from fabpy.dataclass import Values

t = Values(name='t', values=[21.5, 22.1, 21.9], delta=0.2)

# Получение точного значения СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ 
print(t.standard_deviation.value)
>>> 0.17638342073763963
# Получение округленного значения СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ
print(t.standard_deviation.round_value())
>>> 0.2
# Получение формулы вычисления LaTeX
print(t.standard_deviation.latex())
>>> S_{ t } = \sqrt{\frac{ \sum_{ i=1 }^{n} (\overline{ t } - { t }_{i})^2}{ n(n-1) }} = \sqrt{\frac{ (21,8 - 21,5)^2 + (21,8 - 22,1)^2 + (21,8 - 21,9)^2 }{ 3 \, (3 - 1) } } = 0,2

print(t.random_error.value)
>>> 0.7589778594340633
print(t.random_error.round_value())
>>> 0.8
print(t.random_error.latex())
>>> \Delta \, { t }_{\text{сл}} = t_{ 0,95, \, n-1 } \cdot S_{ t, \, n } = 4,303 \cdot 0,2 = 0,8

print(t.instrumental_error.value)
>>> 0.13066666666666668
print(t.instrumental_error.round_value())
>>> 0.1
print(t.instrumental_error.latex())
>>> \Delta \, { t }_{\text{пр}} = t_{ 0,95, \, \infty } \cdot \frac{ \delta_{ t } }{ 3 } = 1,96 \cdot \frac{ 0,2 }{ 3 } = 0,1

print(t.absolute_error.value)
>>> 0.7701436027708667
print(t.absolute_error.round_value())
>>> 0.8
print(t.absolute_error.latex())
>>> \Delta \, { t } = \sqrt{ { \Delta { t }_{\text{сл}} }^2 + { \Delta { t }_{\text{пр}} }^2 } = \sqrt{ { 0,8 }^2 + { 0,1 }^2 } = 0,8

В результате получаете как серию точных и округленных значений, так и формулу вычисления:

$$S_{ t } = \sqrt{\frac{ \sum_{ i=1 }^{n} (\overline{ t } - { t }_{i})^2}{ n(n-1) }} = \sqrt{ \frac{ (21,8 - 21,5)^2 + (21,8 - 22,1)^2 + (21,8 - 21,9)^2 }{ 3 , (3 - 1) }} = 0,2$$

$$\Delta , { t }{\text{сл}} = t{ 0,95, , n-1 } \cdot S_{ t, , n } = 4,303 \cdot 0,2 = 0,8$$

$$\Delta , { t }{\text{пр}} = t{ 0,95, , \infty } \cdot \frac{ \delta_{ t } }{ 3 } = 1,96 \cdot \frac{ 0,2 }{ 3 } = 0,1$$

$$\Delta , { t } = \sqrt{ { \Delta { t }{\text{сл}} }^2 + { \Delta { t }{\text{пр}} }^2 } = \sqrt{ { 0,8 }^2 + { 0,1 }^2 } = 0,8$$

Однако, если посторонний человек посмотрит такие формулы, у него могут возникнуть сомнения в верности вычисления. Это связано с тем, что при вычислении используются точные значения. Если вы хотите, чтобы в вычислениях участвовали значения округленные, нужно установить параметр класса Values(rounded=True):

from fabpy.dataclass import Values

t = Values(name='t', values=[21.5, 22.1, 21.9], delta=0.2, rounded=True)

print(t.absolute_error.value)
>>> 0.9055385138137417
print(t.absolute_error.round_value())
>>> 0.9
print(t.absolute_error.latex())
>>> \Delta \, { t } = \sqrt{ { \Delta { t }_{\text{сл}} }^2 + { \Delta { t }_{\text{пр}} }^2 } = \sqrt{ { 0,9 }^2 + { 0,1 }^2 } = 0,9

$$\Delta , { t } = \sqrt{ { \Delta { t }{\text{сл}} }^2 + { \Delta { t }{\text{пр}} }^2 } = \sqrt{ { 0,9 }^2 + { 0,1 }^2 } = 0,9$$

Косвенная погрешность

В качестве примера, возьму формулу для вычисления момента инерции из лабораторной работы "Матяник Обребека".

$$J = \frac{mgr^2(t_2 - t_1)^2}{h\left(1 - \frac{t_2}{t_1}\right)^2 + h'} - mr^2$$

Для начала заводим все данные в объект Values:

from fabpy import Values, Formula

# Создаем переменные эксперементальных измерений и констант
_R = [18.7, 18.7, 18.7]
_m = 190
_r = 1.75
_h = 150
_g = 980
_t_1 = [11.6, 11.1, 11.7]
_t_2 = [21.5, 22.1, 21.9]
_h__prime = [127.5, 127.5, 127.0]

# Создаем объекты Values
R = Values(name=f'R', values=_R, delta=0.1, rounded=True)
m = Values(name=f'm', values=_m, delta=0.5, use_random_error=False, rounded=True)
g = Values(name=f'g', values=_g, delta=0., use_instrumental_error=False, use_random_error=False, rounded=True)
r = Values(name=f"r", values=_r, delta=0.005, use_random_error=False, roundoff=3, rounded=True)
t_1 = Values(name=f"t_{{1}}", values=_t_1, delta=0.2, rounded=True)
t_2 = Values(name=f"t_{{2}}", values=_t_2, delta=0.2, rounded=True)
h = Values(name=f"h", values=_h, delta=0.1, use_random_error=False, rounded=True)
h__prime = Values(name=f"h'", values=_h__prime, delta=0.1, rounded=True)

Теперь нужно записать изначальную формулу, по которой будем считать ее значение и косвенную погрешность. Для этого создаем любую переменную и записываем формулу на подобии с библиотекой sympy, добавляя к переменным данных .sp, означающая что используется в качестве объекта sympy.

После чего заносим формулу и данные в объект Formula.

J = (m.sp * g.sp * r.sp**2 * (t_2.sp - t_1.sp)**2) / (h.sp * (1 - t_2.sp/t_1.sp)**2 + h__prime.sp) - m.sp * r.sp**2

f = Formula(J, [h__prime, R, m, g, r, t_1, t_2, h], 'J', rounded=True)

---

Объект Formula имеет следующие параметры:

• formula - символьное выражение (тип sympy.Expr), представляющее формулу для вычисления;
• data - список объектов Values, содержащих измеренные значения и их погрешности;
• name - имя переменной, которое будет использоваться в формулах LaTeX (по умолчанию 't');
• roundoff - количество знаков после запятой для округления (по умолчанию 1);
• floating_point - символ разделителя десятичной части в LaTeX-выводе (по умолчанию ',');
• rounded - использовать при расчетах округленные (по roundoff) или точные значения (по умолчанию False).

---

Теперь выведим формулу LaTeX:

print(f.latex())
print(f.value)
print(f.round_value())

>>> J = \frac{g m r^{2} \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{2}}{h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'} - m r^{2} = \frac{1,75^{2} \cdot 190 \cdot 980 \left(- 11,5 + 21,8\right)^{2}}{127,3 + 150 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}} - 1,75^{2} \cdot 190 = 243721,
>>> 243721.156186329
>>> 243721.2

print(f.indetect_error.latex())
print(f.indetect_error.value)
print(f.indetect_error.round_value())

>>> \Delta{ J } = \sqrt{\frac{\Delta { h }^{2} g^{2} m^{2} r^{4} \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{4} \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{4}}{\left(h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'\right)^{4}} + \frac{\Delta { h' }^{2} g^{2} m^{2} r^{4} \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{4}}{\left(h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'\right)^{4}} + \Delta { m }^{2} \left(\frac{g r^{2} \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{2}}{h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'} - r^{2}\right)^{2} + \Delta { r }^{2} \left(\frac{2 g m r \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{2}}{h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'} - 2 m r\right)^{2} + \Delta { t_{1} }^{2} \left(- \frac{2 g h m r^{2} t_{2} \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right) \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{2}}{t_{1}^{2} \left(h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'\right)^{2}} + \frac{g m r^{2} \left(2 t_{1} - 2 t_{2}\right)}{h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'}\right)^{2} + \Delta { t_{2} }^{2} \left(\frac{2 g h m r^{2} \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right) \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{2}}{t_{1} \left(h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'\right)^{2}} + \frac{g m r^{2} \left(- 2 t_{1} + 2 t_{2}\right)}{h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'}\right)^{2}} = \sqrt{0,003^{2} \left(\frac{2 \cdot 1,750 \cdot 190,0 \cdot 980,0 \left(- 11,5 + 21,8\right)^{2}}{127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}} - 2 \cdot 1,750 \cdot 190,0\right)^{2} + \frac{0,1^{2} \cdot 1,750^{4} \cdot 190,0^{2} \cdot 980,0^{2} \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{4} \left(- 11,5 + 21,8\right)^{4}}{\left(127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}\right)^{4}} + 0,3^{2} \left(\frac{1,750^{2} \cdot 980,0 \left(- 11,5 + 21,8\right)^{2}}{127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}} - 1,750^{2}\right)^{2} + \frac{0,9^{2} \cdot 1,750^{4} \cdot 190,0^{2} \cdot 980,0^{2} \left(- 11,5 + 21,8\right)^{4}}{\left(127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}\right)^{4}} + 0,9^{2} \left(\frac{1,750^{2} \cdot 190,0 \cdot 980,0 \left(- 2 \cdot 11,5 + 2 \cdot 21,8\right)}{127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}} + \frac{2 \cdot 1,750^{2} \cdot 150,0 \cdot 190,0 \cdot 980,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right) \left(- 11,5 + 21,8\right)^{2}}{11,5 \left(127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}\right)^{2}}\right)^{2} + 0,9^{2} \left(\frac{1,750^{2} \cdot 190,0 \cdot 980,0 \left(2 \cdot 11,5 - 2 \cdot 21,8\right)}{127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}} - \frac{2 \cdot 1,750^{2} \cdot 150,0 \cdot 190,0 \cdot 21,8 \cdot 980,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right) \left(- 11,5 + 21,8\right)^{2}}{11,5^{2} \left(127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}\right)^{2}}\right)^{2}} = 22241,4
>>> 22241.44380543627
>>> 22241.4

$$J = \frac{g m r^{2} \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{2}}{h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'} - m r^{2} = \frac{1,75^{2} \cdot 190 \cdot 980 \left(- 11,5 + 21,8\right)^{2}}{127,3 + 150 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}} - 1,75^{2} \cdot 190 = 243721$$

$$\Delta{ J } = \sqrt{\frac{\Delta { h }^{2} g^{2} m^{2} r^{4} \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{4} \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{4}}{\left(h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'\right)^{4}} + \frac{\Delta { h' }^{2} g^{2} m^{2} r^{4} \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{4}}{\left(h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'\right)^{4}} + \Delta { m }^{2} \left(\frac{g r^{2} \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{2}}{h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'} - r^{2}\right)^{2} + \Delta { r }^{2} \left(\frac{2 g m r \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{2}}{h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'} - 2 m r\right)^{2} + \Delta { t_{1} }^{2} \left(- \frac{2 g h m r^{2} t_{2} \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right) \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{2}}{t_{1}^{2} \left(h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'\right)^{2}} + \frac{g m r^{2} \left(2 t_{1} - 2 t_{2}\right)}{h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'}\right)^{2} + \Delta { t_{2} }^{2} \left(\frac{2 g h m r^{2} \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right) \left(- t_{1} + t_{2}\right)^{2}}{t_{1} \left(h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'\right)^{2}} + \frac{g m r^{2} \left(- 2 t_{1} + 2 t_{2}\right)}{h \left(1 - \frac{t_{2}}{t_{1}}\right)^{2} + h'}\right)^{2}} = \sqrt{0,003^{2} \left(\frac{2 \cdot 1,750 \cdot 190,0 \cdot 980,0 \left(- 11,5 + 21,8\right)^{2}}{127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}} - 2 \cdot 1,750 \cdot 190,0\right)^{2} + \frac{0,1^{2} \cdot 1,750^{4} \cdot 190,0^{2} \cdot 980,0^{2} \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{4} \left(- 11,5 + 21,8\right)^{4}}{\left(127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}\right)^{4}} + 0,3^{2} \left(\frac{1,750^{2} \cdot 980,0 \left(- 11,5 + 21,8\right)^{2}}{127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}} - 1,750^{2}\right)^{2} + \frac{0,9^{2} \cdot 1,750^{4} \cdot 190,0^{2} \cdot 980,0^{2} \left(- 11,5 + 21,8\right)^{4}}{\left(127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}\right)^{4}} + 0,9^{2} \left(\frac{1,750^{2} \cdot 190,0 \cdot 980,0 \left(- 2 \cdot 11,5 + 2 \cdot 21,8\right)}{127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}} + \frac{2 \cdot 1,750^{2} \cdot 150,0 \cdot 190,0 \cdot 980,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right) \left(- 11,5 + 21,8\right)^{2}}{11,5 \left(127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}\right)^{2}}\right)^{2} + 0,9^{2} \left(\frac{1,750^{2} \cdot 190,0 \cdot 980,0 \left(2 \cdot 11,5 - 2 \cdot 21,8\right)}{127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}} - \frac{2 \cdot 1,750^{2} \cdot 150,0 \cdot 190,0 \cdot 21,8 \cdot 980,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right) \left(- 11,5 + 21,8\right)^{2}}{11,5^{2} \left(127,3 + 150,0 \left(1 - \frac{21,8}{11,5}\right)^{2}\right)^{2}}\right)^{2}} = 22241,4$$